Com es troba una aproximació lineal a l’arrel (4) (84)?

Resposta:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Explicació:

Tingues en compte que #3^4 = 81#, que és a prop #84#.

Tan #root (4) (84) # és una mica més gran que #3#.

Per obtenir una aproximació millor, podem utilitzar una aproximació lineal, mètode a.k.a. Newton.

Defineix:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Llavors:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

i donat un zero aproximat # x = un # de #f (x) #, una aproximació millor és:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Així, en el nostre cas, posar # a = 3 #, una aproximació millor és:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 bar (7) #

Això és gairebé exacte #4# xifres significatives, però citem l’aproximació com #3.03#

Resposta:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Explicació:

Tingueu en compte que l’aproximació lineal a prop d’un punt # a # es pot donar per:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Si es dóna: #f (x) = root (4) (x) #

llavors una elecció adequada per a # a # seria # a = 81 # perquè sabem #root (4) 81 = 3 # exactament i és a prop #84#.

Tan:

#f (a) = f (81) = arrel (4) (81) = 3 #

També;

#f (x) = x ^ (1/4) # tan #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3)

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Per tant, podem aproximar-nos (a prop #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Tan:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

El valor més precís és #3.02740#

de manera que l'aproximació lineal és bastant propera.

Resposta:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Explicació:

Podem dir que tenim una funció #f (x) = root (4) (x) #

i # root (4) (84) = f (84) #

Ara, anem a trobar la derivada de la nostra funció.

Utilitzem la regla de poder, que indica que si #f (x) = x ^ n #, llavors #f '(x) = nx ^ (n-1) # on # n # és una constant.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Ara, per aproximar-ho # root (4) (84) #, intentem trobar la quarta potència perfecta més propera a 84

Anem a veure …

#1#

#16#

#81#

#256#

Ho veiem #81# és el nostre més proper.

Ara trobem la línia tangent de la nostra funció quan # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Aquesta és la pendent que busquem.

Tractem d’escriure l’equació de la línia tangent en el formulari # y = mx + b #

Bé, què és? # y # igual a quan # x = 81 #?

Anem a veure …

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Per tant, ara tenim:

# 3 = m81 + b # Sabem que el pendent, # m, és #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Ara ho podem resoldre # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Per tant, l’equació de la línia tangent és # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Ara utilitzem 84 al lloc de # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Per tant, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #