Hi ha algun punt (x, y) a la corba y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, en què la tangent és paral·lela a l'eix x?

Resposta:

No hi ha tal punt, pel que fa a la meva matemàtica.

Explicació:

Primer, considerem les condicions de la tangent si és paral·lela a la # x #-axi. Des de la # x #-isis horitzontal, qualsevol línia paral·lela a ella també ha de ser horitzontal; per tant, es desprèn que la línia tangent és horitzontal. I, per descomptat, les tangents horitzontals es produeixen quan la derivada és igual #0#.

Per tant, primer hem de començar trobant la derivada d'aquesta monstruosa equació, que es pot aconseguir a través de la diferenciació implícita:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Utilitzant la regla de suma, la regla de cadena, la regla del producte, la regla del quocient i l’àlgebra, tenim:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / i) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / i ^ 2 + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / i ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx (1 / i + (xlnx) / i ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / i #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / i #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / i) / ((i + xlnx) / i ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … això va ser intens. Ara establim la derivada igual a #0# i veure què passa.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Interessant. Ara anem a connectar # y = -1 # i veure el que obtenim # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) # #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Com que es tracta d’una contradicció, conclouem que no hi ha punts que compleixin aquesta condició.

Resposta:

No existeix tal tangent.

Explicació:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equivocat y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Ara trucant #f (x, y) = x ^ x-i ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (i) = 0 tenim

#df = f_x dx + f_y dy = (parcial u) / (parcial x) dx + (parcial v) / (parcial i) dy = 0 # llavors

# dy / dx = - ((parcial u) / (parcial x)) / ((parcial v) / (parcial i)) = (x ^ x (1 + log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (i)) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Ho veiem # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # però aquests valors han de verificar:

#f (x, y_0) = 0 # i

#f (x_0, y) = 0 #

En el primer cas, # y_0 = 1 # tenim

# x ^ x = -1 que no és possible en el domini real.

En el segon cas, # x_0 = e ^ {- 1} # tenim

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # o bé

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

però

# y / (y + 1) log_e y> -1 # així que tampoc no hi ha cap solució real.

Finalment, no hi ha tan tangent.

Resposta:

La resposta de Dr, Cawa K, x = 1 / e, és precisa.

Explicació:

Jo havia proposat aquesta pregunta per obtenir aquest valor amb precisió. Gràcies a

Dr, Cawas, per una resposta decisiva que aprova la revelació

la doble precisió y 'roman al voltant d’aquest interval. y és

continu i diferenciable a x = 1 / e. Tant com el doble de 17 sd

la precisió y i y 'són 0, en aquest interval al voltant de x = 1 / e, era un

conjectura que l'eix-x toca el gràfic entre. I ara, ho és

provat. Crec que el tacte és transcendental..