Resposta:
El vèrtex de # y # és el punt #(-1.25, 26.875)#
Explicació:
Per a una paràbola en forma estàndard: # y = ax ^ 2 + bx + c #
el vèrtex és el punt on #x = (- b) / (2a) #
Nota: aquest punt serà màxim o mínim de # y # depenent del signe de # a #
En el nostre exemple: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vèrtex" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Substitució de # x # in # y #
#y_ "vèrtex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
El vèrtex de # y # és el punt #(-1.25, 26.875)#
Podem veure aquest punt com el mínim de # y # al gràfic següent.
gràfic {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Per trobar el vèrtex, la cosa més fàcil de fer (a més de representar gràficament el problema) és convertir l'equació en forma de vèrtex. Per fer-ho, hauríem de "completar el quadrat"
# y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
el coeficient principal ha de ser #1#, per tant, proveu l’element #2#
# y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Hem de trobar un valor que canviï # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 # en un quadrat perfecte.
Per fer-ho, hem de prendre el terme mitjà, #5/2#, i dividiu-la #2#. Això ens dóna #5/4#.
El nostre següent pas és marcar el resultat: #(5/4)^2#, o #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Ara tenim el nostre valor perdut: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # ESPERA No podem afegir alguna cosa a un problema. Però, si afegim alguna cosa i després la restem immediatament, tècnicament no hem canviat l’equació, ja que resten a zero
Per tant, el nostre problema és realment # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Tornem a escriure: # x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # és un quadrat perfecte. Anem a reescriure aquesta forma: # (x + 5/4) ^ 2 #
Vegem ara la nostra equació: # (x + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Combinem termes similars: # (x + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Ara tenim l'equació en forma de vèrtex i podem trobar el vèrtex molt fàcilment des d'aquí
# (x + color (vermell) (5/4)) ^ 2 + color (groc) (71/16) #
# (- color (vermell) (x), color (groc) (y)) #
# (- color (vermell) (5/4), color (groc) (71/16)) #
Aquest és el vèrtex.
Per comprovar el nostre treball, grauem la nostra equació i veureu el vèrtex
gràfic {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Teníem raó! #-1.25# i #4.4375# són equivalents a #-25/16# i #71/16#
