Com integraria int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Resposta:

Aquesta integral no existeix.

Explicació:

Des de #ln x> 0 # en l’interval # 1, e #, tenim

#sqrt {l ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

aquí, de manera que la integral esdevingui

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Substituïu #ln x = u #, llavors # dx / x = du # i que

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Aquesta és una integral inapropiada, ja que l’integral divergeix al límit inferior. Això es defineix com

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

si existeix. Ara

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

ja que això divergeix en el límit #l -> 0 ^ + #, la integral no existeix.

Resposta:

# pi / 2 #

Explicació:

La integral # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Substitueix primer # u = ln (x) # i # "d" u = ("d" x) / x #.

Per tant, tenim

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" o) / sqrt (1-u ^ 2) #

Ara, substitueix # u = sin (v) # i # "d" u = cos (v) "d" v #.

Llavors, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e)) "d" v # des de llavors # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Continuant, ho tenim

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #