Què són els màxims i mínims locals de f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Resposta:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Aquesta funció té una asíntota vertical a # x = 2 #, enfocaments #1# des de dalt com a x # + oo # (asíntota horitzontal) i enfocaments #1# des de sota com a x es dirigeix # -o #. Tots els derivats no estan definits a # x = 2 # també. Hi ha un mínim local a # x = 0 #, # y = 0 # (Tot això per l’origen!)

Tingueu en compte que és possible que vulgueu comprovar la meva matemàtica, fins i tot el millor de nosaltres deixeu anar el senyal negatiu i això és una pregunta llarga.

Explicació:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Aquesta funció té una asíntota vertical a # x = 2 #, perquè el denominador és zero quan # x = 2 #.

S'acosta #1# des de dalt com a x # + oo # (asíntota horitzontal) i enfocaments #1# des de sota com a x es dirigeix # -o #, perquè per a valors grans # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # amb # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # per #x> 0 # i # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # per #x <0 #.

Per trobar max / min necessitem les primeres i segones derivades.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Utilitzeu la regla del quocient!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Utilitzant la regla per als poders i la regla de la cadena obtenim:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Ara estem preparats una mica …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Ara la segona derivada, feta com la primera.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

És lleig, però només necessitem endollar-nos i assenyalar-los on es comporta malament.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Aquesta funció no està definida a # x = 2 #, aquesta asíntota, però es veu bé per tot arreu.

Volem saber si el màxim / min són …

vam posar # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # això és zero quan el numerador és zero i si el denominador no ho és.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # o bé # 4x (2-x) = 0 # Això és zero # x = 0 # i # x = 2 #, però no podem tenir un màxim / min si la derivada / funció no estigui definida, de manera que l’única possibilitat és # x = 0 #.

"la segona prova derivada"

Ara mirem la segona derivada, lletja com és …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Igual que la funció i la primera derivada això no està definit a # x = 2 #, però es veu bé per tot arreu.

Ens connectem # x = 0 # a # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, no és zero un nombre tan bonic per connectar-lo?

#=128/256# tot això per #1/2#

#1/2 >0# tan # x = 0 # és un mínim local.

Per trobar el valor y necessitem connectar-lo a la funció.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 L'origen!