Dos acords paral·lels d'un cercle amb longituds de 8 i 10 serveixen com a bases d'un trapezi inscrit al cercle. Si la longitud d'un radi del cercle és de 12, quina és la major àrea possible de tal trapezi inscrit descrit?

Resposta:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

Explicació:

Penseu en les Figs. 1 i 2

Esquemàticament, podríem inserir un paral·lelogram ABCD en un cercle, i amb la condició que els costats AB i CD siguin acords dels cercles, en la forma de la figura 1 o la figura 2.

La condició que els costats AB i CD hagin de ser acords del cercle impliquen que el trapezoide inscrit ha de ser un isòsceles perquè

les diagonals del trapezoide (#AC# i # CD #) són iguals perquè
#A hat B D = B hat A C = B hatD C = A hat C C #

i la línia perpendicular a # AB # i # CD # passant pel centre E es barregen aquests acords (això significa que # AF = BF # i # CG = DG # i els triangles formats per la intersecció de les diagonals amb bases a # AB # i # CD # són isòsceles).

Però com que la zona del trapezi és

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, on? # b_1 # significa base-1, # b_2 # per a base-2 i # h # per alçada, i # b_1 # és paral·lela a # b_2 #

I des del factor # (b_1 + b_2) / 2 # és igual en les hipòtesis de les figures 1 i 2, el que importa és en quina hipòtesi el trapezi té una alçada més llarga (# h #). En el cas actual, amb cordes menors que el radi del cercle, no hi ha dubte que, en la hipòtesi de la figura 2, el trapezi té una alçada més llarga i, per tant, té una zona més alta.

Segons la figura 2, amb # AB = 8 #, # CD = 10 # i # r = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / cancel·lar (2) * cancel·lar (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

#triangle_ (ECG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = i / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Llavors

# h = x + y #

# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #

Tenim un cercle amb un quadrat inscrit amb un cercle inscrit amb un triangle equilàter inscrit. El diàmetre del cercle exterior és de 8 peus. El material del triangle costava 104,95 dòlars quadrats. Quin és el cost del centre triangular?

El cost d’un centre triangular és de $ 1090.67 AC = 8 com a diàmetre donat d’un cercle. Per tant, del teorema de Pitàgores per al triangle isòsceles dret Delta ABC, AB = 8 / sqrt (2) Llavors, des de GE = 1/2 AB, GE = 4 / sqrt (2) lybviament, el triangle Delta GHI és equilàter. El punt E és un centre d’un cercle que circumscriu Delta GHI i, com a tal, és un centre d’intersecció de mitges, altituds i bisectrius d’aquest triangle. Se sap que un punt d’intersecció de les medianes divideix aquestes mitjanes en la proporció de 2: 1 (per veure proves veure Unizor i seguir els

Dos costats oposats d'un paral·lelogram tenen longituds de 3. Si una cantonada del paral·lelogram té un angle de pi / 12 i l'àrea del paral·lelogram és de 14, quant de temps són els altres dos costats?

Assumint una mica de trigonometria bàsica ... Sigui x la longitud (comuna) de cada costat desconegut. Si b = 3 és la mesura de la base del paral·lelogram, h sigui la seva alçada vertical. L’àrea del paral·lelogram és bh = 14 Atès que es coneix b, tenim h = 14/3. Des de Trig bàsic, sin (pi / 12) = h / x. Podem trobar el valor exacte del sinus utilitzant una fórmula de mig angle o diferència. sin (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) = (sqrt6 - sqrt2) / 4. Així ... (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / xx (sqrt6 - sqrt2) = 4h

Les longituds de dos costats paral·lels del trapezi són de 10 cm i 15 cm. Les longituds d'altres dos costats són de 4 cm i 6 cm. Com descobriràs l'àrea i magnituds dels 4 angles del trapezi?

Així, a partir de la figura, sabem: h ^ 2 + x ^ 2 = 16 ................ (1) h ^ 2 + y ^ 2 = 36 .... ............ (2) i, x + y = 5 ................ (3) (1) - (2) => (x + y) (xy) = -20 => yx = 4 (utilitzant eq. (3)) ..... (4) així, y = 9/2 i x = 1/2 i així, h = sqrt63 / 2 A partir d’aquests paràmetres es pot obtenir fàcilment la zona i els angles del trapezi.