Com es poden trobar punts d'inflexió per y = sin x + cos x?

Resposta:

El punt d'inflexió són: # ((3pi) / 4 + 2 kpi, 0) "I" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Explicació:

1 - Primer hem de trobar la segona derivada de la nostra funció.

2 - En segon lloc, equiparem aquesta derivada# ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) # a zero

# y = sinx + cosx #

# => (dy) / (dx) = cosx-sinx

# => (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx #

Pròxim, # -sinx-cosx = 0 #

# => sinx + cosx = 0 #

Ara ho expressarem en el formulari #Rcos (x + lamda) #

On? # lambda # és només un angle agut i # R # és un enter positiu que cal determinar. Com això

# sinx + cosx = Rcos (x + lambda) #

# => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda #

En comparar els coeficients de # sinx # i # cosx # a banda i banda de l’equació,

# => Rcoslamda = 1 #

i # Rsinlambda = -1 #

# (Rsinlambda) / (Rcoslambda) = (- 1) / 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1 (-1) = - pi / 4 #

I # (Rcoslambda) ^ 2 + (Rsinlambda) ^ 2 = (1) ^ 2 + (- 1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2x + sin ^ 2x) = 2

Però coneixem la identitat, # cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1

Per tant, # R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

En una closca de nou, # (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx = sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0

# => cos (x-pi / 4) = 0 = cos (pi / 2) #

Així que la solució general de # x # és: # x-pi / 4 = + - pi / 2 + 2 kpi #, # kinZZ #

# => x = pi / 4 + -pi / 2 + 2 kpi #

Per tant, els punts d’inflexió seran qualsevol punt que tingui coordenades:

# (pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + -pi / 2-pi / 4)) #

Tenim dos casos per tractar, Cas 1

# (pi / 4 + pi / 2 + 2 kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + pi / 2-pi / 4)) #

# => ((3pi) / 4 + 2 kpi, sqrt (2) cos (pi / 2)) #

# => ((3pi) / 4 + 2 kpi, 0)

Cas 2

# (pi / 4-pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4-pi / 2-pi / 4)) #

# => (- pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (-pi / 2)) #

# => ((- pi / 2 + 2kpi, 0)) #