Suposeu que llenceu un projectil a una velocitat suficientment alta que pugui colpejar un objectiu a distància. Tenint en compte que la velocitat és de 34 m / s i la distància del rang és de 73 m, quins són els dos angles possibles des del qual es podria llançar el projectil?

Resposta:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Explicació:

El moviment és un moviment parabòlic, que és la composició de dos moviments:

la primera, horitzontal, és un moviment uniforme amb la llei:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

i el segon és un moviment desaccelerat amb la llei:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

on:

• # (x, y) # és la posició en aquell moment # t #;
• # (x_0, y_0) # és la posició inicial;
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # són els components de la velocitat inicial, és a dir, per a les lleis de trigonometria:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (# alfa # és l'angle que forma la velocitat del vector amb l’horitzontal);

• # t # és el temps;
• # g # és l'acceleració per gravetat.

Per obtenir l’equació del moviment, una paràbola, hem de resoldre el sistema entre les dues equacions escrites anteriorment.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Anem a trobar # t # a partir de la primera equació i substitueixi en el segon:

# t = (x-x_0) / v_ (0x) #

# y = y_0 + v_ (0y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # o:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) # o bé

# y = y_0 + sinalfa (x-x_0) / cosalfa-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) #

Per trobar l’interval podem suposar:

# (x_0, y_0) # és l’origen #(0,0)#, i el punt en què cau té coordenades: # (0, x) # (# x # és el rang!), de manera que:

# 0 = 0 + sinalfa * (x-0) / cosalpha-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x) = 0

# x = 0 # és una solució (el punt inicial!)

# x = (2sinalfoscalfa_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(utilitzant la fórmula d’angle doble del si).

Ara tenim el dret fórmula per respondre a la pregunta:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9.8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

i (el si té solucions complementàries):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.