Quin és el límit que t s'apropa a 0 de (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3. La determinem utilitzant la regla de L'hospital.

Parafrasejant, la regla de L'Hospital estableix que quan es dóna un límit de la forma #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, on? #f (a) # i #g (a) # són valors que fan que el límit sigui indeterminat (amb més freqüència, si tots dos són 0, o alguna forma de), llavors, sempre que ambdues funcions siguin contínues i siguin diferenciables a les rodalies de # a, # es pot dir això

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

O en paraules, el límit del quocient de dues funcions és igual al límit del quocient de les seves derivades.

En l’exemple proporcionat, tenim #f (t) = tan (6t) # i #g (t) = sin (2t) #. Aquestes funcions són contínues i diferenciables a prop # t = 0, tan (0) = 0 i sin (0) = 0. Així, la nostra inicial #f (a) / g (a) = 0/0 =?.

Per tant, hem d'utilitzar la regla de l'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Així …

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (-> 0) (6 sec ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sec ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Resposta:

El Reqd. Lim.#=3#.

Explicació:

Ho trobarem Límit utilitzant el següent Resultats estàndard:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1

Observeu això, #tan (6t) / sin (2t) = frac (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Aquí, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

De la mateixa manera, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1

Per tant, el Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.