Si llanceu un sol motlle, quina és la quantitat esperada de rotlles necessaris per rodar cada número una vegada?

Resposta:

# 14.7 "rolls" #

Explicació:

#P "tots els números llançats" = 1 - P "1,2,3,4,5 o 6 no llançats" #

#P "A o B o C o D o E o F" = P A + P B + … + P F - #

#P A i B - P A i C …. + P A i B i C + … #

# "Aquí és"

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "El negatiu d’aquesta és la nostra probabilitat". #

#sum n * a ^ (n-1) = suma (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = suma n * P "tots els números llançats després de n llançaments" # #

# = suma n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Hem de restar-ne un a causa de la condició d'inici P_1 (0)" #

# "dóna un valor defectuós P = 1 per a n = 1." # #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Resposta:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Explicació:

Penseu en ell com sis minijuegos. Per a cada joc, tirem la matriu fins que tirem un número que encara no s’ha rodat, el que anomenarem "guanyar". Després començem el següent joc.

Deixar # X # s’és el nombre de rotllos necessaris per rodar cada número almenys una vegada (és a dir, guanyeu els 6 mini-jocs) i # X_i # ser el nombre de rotllos necessaris per a "guanyar" el número de mini-joc # i # (per # i # de 1 a 6). A continuació, cadascun # X_i # és una variable aleatòria geomètrica amb distribució # "Geo" (p_i) #.

El valor esperat de cada variable geomètrica aleatòria és # 1 / p_i #.

Per al primer joc, # p_1 = 6/6 # ja que els sis resultats són "nous". Així, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Per al segon joc, 5 dels 6 resultats són nous, per tant # p_2 = 5/6 #. Així, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Per al tercer joc, 4 dels 6 possibles llançaments són nous, per tant # p_3 = 4/6 #, és a dir # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

En aquest punt, podem veure un patró. Atès que el nombre de "guanyadors" disminueix en un per a cada nou joc, la probabilitat de "guanyar" cada joc disminueix #6/6# a #5/6#, llavors #4/6#, etc, és a dir, la quantitat esperada de rotlles per part #6/6# a #6/5#, a #6/4#, etcètera, fins a l'últim partit, on esperem que prengui 6 rotllos per obtenir el darrer número.

Així:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (blanc) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (blanc) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (blanc) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (blanc) ("E" (X)) = 14,7 #