Es mostra el gràfic d’h (x). Sembla que el gràfic és continu, on canvia la definició. Demostrar que h és, de fet, continuat per trobar els límits dret i esquerre i que mostra que es compleix la definició de continuïtat?

Resposta:

Si us plau, consulteu el document Explicació.

Explicació:

Per demostrar-ho # h # és continu, hem de comprovar-ne

continuïtat a # x = 3 #.

Ho sabem, # h # serà cont. a # x = 3 #, si i només si, #lim_ (x a 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x a 3+) h (x) ………………… ………. (ast) #.

Com #x a 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1 #.

#:. lim_ (x a 3-) h (x) = lim_ (x a 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) + 1 #, # rArr lim_ (x a 3-) h (x) = 4 …………………………….. ………………. (ast ^ 1) #.

De la mateixa manera, #lim_ (x a 3+) h (x) = lim_ (x a 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0 #.

# rArr lim_ (x a 3+) h (x) = 4 …………………………….. …………….. (ast ^ 2) #.

Finalment, #h (3) = 4 (0,6) ^ (3-3) = 4 ………………………….. …… (ast ^ 3) #.

# (ast), (ast ^ 1), (ast ^ 2) i (ast ^ 3) rArr h "cont. a" x = 3 #.

Resposta:

Mirar abaix:

Explicació:

Perquè una funció sigui contínua en un punt (anomeneu-ho "c"), cal que siga el següent:

• #f (c) # ha d'existir.

• #lim_ (x-> c) f (x) # ha d'existir

El primer es defineix com a cert, però haurem de verificar aquest últim. Com? Recordeu que per tal que existeixi un límit, els límits de la mà dreta i de l’esquerra han de ser iguals. Matemàticament:

#lim_ (x-> c ^ -) f (x) = lim_ (x-> c ^ +) f (x) #

Això és el que haurem de verificar:

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

A l'esquerra de #x = 3 #, ho veiem #f (x) = -x ^ 2 + 4x + 1 #. A més, a la dreta de (i de) #x = 3 #, #f (x) = 4 (0,6 ^ (x-3)) #. Utilitzant això:

#lim_ (x-> 3) -x ^ 2 + 4x + 1 = lim_ (x-> 3) 4 (0,6 ^ (x-3)) #

Ara, només avaluem aquests límits i comproveu si són iguals:

#-(3^2) + 4(3) + 1 = 4(0.6^(3-3))#

#=> -9 + 12 + 1 = 4(0.6^0)#

#=> 4 = 4#

Per tant, ho hem verificat #f (x) # és continu a #x = 3 #.

Espero que t'hagi ajudat:)