Què és el nombre sencer més petit n tal que n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Resposta:

# n = 8075 #

Explicació:

Deixar #v_p (k) # ser la multiplicitat de # p # com a factor de # k #. Això és, #v_p (k) # és el nombre sencer més gran tal que # p ^ (v_p (k)) | k #.

Observacions:

• Per ningu #k a ZZ ^ + # i # p # primer, tenim #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Això es pot provar fàcilment per inducció)

• Per a qualsevol enter #k> 1 #, tenim # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Això és intuïtiu, com a múltiples de poders de #2# es produeixen amb més freqüència que múltiples de potències equivalents #5#, i es pot provar amb rigor mitjançant un argument similar)

• Per #j, k a ZZ ^ + #, tenim #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # per a qualsevol divisor prim # p # de # j #.

Procedint, el nostre objectiu és trobar el mínim sencer # n # de tal manera que # 10 ^ 2016 | n!. Com # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, a continuació, per la tercera observació, només hem de confirmar-ho # 2016 <= v_2 (n!) # i # 2016 <= v_5 (n!) #. La segona observació significa que aquesta última implica la primera. Per tant, és suficient trobar el mínim sencer # n # de tal manera que # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Trobar # n # farem una observació que ens permeti calcular # v_5 (5 ^ k!) #.

Entre #1# i # 5 ^ k #, hi ha # 5 ^ k / 5 # múltiples de #5#, cadascun dels quals contribueix com a mínim #1# a la suma #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Hi ha també # 5 ^ k / 25 # múltiples de #25#, cadascun dels quals contribueix amb un complement #1# a la suma després del recompte inicial. Podem procedir d’aquesta manera fins a arribar a un únic múltiple de # 5 ^ k # (el qual és # 5 ^ k #), que ha contribuït # k # vegades a la suma. Calculant la suma d'aquesta manera, tenim

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Per tant, ho trobem # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Finalment, trobarem # n # de tal manera que # v_5 (n!) = 2016 #. Si calculem # v_5 (5 ^ k!) # per a diversos valors de # k #, trobem

# v_5 (5 ^ 1) = 1

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Com #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # necessita dos "blocs" de #5^5#, dos de #5^4#, quatre de #5^3#, i tres de #5^2#. Per tant, ho aconseguim

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Un ordinador pot verificar-ho ràpidament #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Per tant #10^2016 | 8075!#, i com #5|8075!# amb multiplicitat #2016# i #5|8075#, és clar que no hi haurà cap valor menor.