Resposta:
# sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) #
Explicació:
Deixar:
Si no està clar quant a l'efecte, la millor opció per ampliar alguns termes de la suma:
# S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + …} #
= {0a_0x ^ (1) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + …} #
Llavors podem tornar-la a la notació "sigma":
# S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) #
Per què es mostra aquesta pregunta com que té 0 respostes al canal d'informació, però quan faig clic a la pregunta, s’ha respost?
Aquí hi ha una mostra, recopilada, fent clic a la pregunta:
Què és el radi de convergència per a aquesta sèrie de potències? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...
Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k però sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Ara considerant abs z <1 tenim sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) i int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) fent ara la substitució z -> - z tenim -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) pel que és convergent per abs z <1
Com es poden trobar els tres primers termes d’una sèrie de Maclaurin per a f (t) = (e ^ t - 1) / t utilitzant la sèrie de Maclaurin d’e ^ x?
Sabem que la sèrie de Maclaurin d’ex x és sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!). També podem derivar aquesta sèrie utilitzant l'expansió de Maclaurin de f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) i el fet que totes les derivades de e ^ x siguin encara e ^ x i e ^ 0 = 1. Ara, simplement substituïu la sèrie anterior a (e ^ x-1) / x = (suma_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Si voleu que l'índex comenci per i = 0, simplement substituïu n = i + 1: