Tenim una teulada de mig cilindre de radi r i alçada r muntada a la part superior de quatre parets rectangulars d’alçada h. Disposem de 200π m ^ 2 de làmina plàstica per a la construcció d’aquesta estructura. Quin és el valor de r que permet un volum màxim?

Resposta:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Explicació:

Permeteu-me repetir la pregunta tal com ho entenc.

Sempre que l’àrea superficial d’aquest objecte sigui # 200pi #, maximitzeu el volum.

Pla

Coneixent la superfície, podem representar una alçada # h # en funció del radi # r #, llavors podem representar el volum com a funció d’un sol paràmetre - radi # r #.

Aquesta funció ha de ser maximitzada utilitzant # r # com a paràmetre. Això dóna el valor de # r #.

L'àrea de superfície conté:

4 parets que formen una superfície lateral d’un paral·lelipípode amb un perímetre de base # 6r # i alçada # h #, que tenen una superfície total de # 6rh #.

1 sostre, la meitat de la superfície lateral d'un cilindre d'un radi # r # i altura # r #, que té àrea de #pi r ^ 2 #

2 costats del sostre, semicercles de radi # r #, la superfície total de la qual és #pi r ^ 2 #.

La superfície total resultant d’un objecte és

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Sabent que és igual a # 200pi #, podem expressar # h # en termes de # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

El volum d’aquest objecte té dues parts: sota el sostre i dins del sostre.

Sota el sostre tenim un paral·lelepípedo amb una àrea de la base # 2r ^ 2 # i alçada # h #, aquest és el seu volum

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Dins del sostre tenim mig cilindre amb radi # r # i alçada # r #, el seu volum és

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Hem de maximitzar la funció

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

que sembla així (no a escala)

gràfic {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Aquesta funció arriba al seu màxim quan la seva derivada és igual a zero per a un argument positiu.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

A la zona de #r> 0 # és igual a zero quan # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Aquest és el radi que dóna el volum més gran, donat l’àrea superficial i la forma d’un objecte.

L'alçada d'un cilindre circular de determinat volum varia inversament com el quadrat del radi de la base. Quantes vegades major és el radi d'un cilindre de 3 m d'alçada que el radi d'un cilindre de 6 m d'alçada amb el mateix volum?

El radi de cilindre de 3 m d’altura és sqrt2 vegades major que el de 6m de cilindre alt. Sigui h_1 = 3 m l’altura i r_1 sigui el radi del primer cilindre. Sigui h_2 = 6m l’altura i r_2 sigui el radi del segon cilindre. El volum dels cilindres és el mateix. h prop 1 / r ^ 2:. h = k * 1 / r ^ 2 o h * r ^ 2 = k:. h_1 * r_1 ^ 2 = h_2 * r_2 ^ 2 3 * r_1 ^ 2 = 6 * r_2 ^ 2 o (r_1 / r_2) ^ 2 = 2 o r_1 / r_2 = sqrt2 o r_1 = sqrt2 * r_2 El radi del cilindre de 3 m alta és sqrt2 vegades superior a la de 6 m d'alçada de cilindre [Ans]

El màxim té 100 polzades quadrades d’alumini amb què es pot fabricar un cilindre tancat. Si el radi del cilindre ha de ser de 2 polzades. Què tan alt serà el cilindre?

(50 - 4pi) / (π) = h ~ ~ 11.92 "polzades" La fórmula per a la superfície d'un cilindre tancat és: A_ "superfície" = 2pir ^ 2 + 2πrh la vostra és: A = 100 r = 2 Resoldre: 100 = 2π2 ^ 2 + 2πh 100 - 2π4 = 2πh (100 - 8pi) / (2π) = h (2 (50 - 4pi)) / (2π) = h (50 - 4pi) / (π) = h (50 - 4pi) / (π) = h ~~ 11.92 "polzades"

El volum, V, en unitats cúbiques, d'un cilindre es dóna per V = πr ^ 2 h, on r és el radi i h és l'alçada, ambdues en les mateixes unitats. Trobeu el radi exacte d’un cilindre amb una alçada de 18 cm i un volum de 144 p cm3. Expresseu la vostra resposta en forma més senzilla?

R = 2sqrt (2) Sabem que V = hpir ^ 2 i sabem que V = 144pi, i h = 18 144pi = 18pir ^ 2 144 = 18r ^ 2 r ^ 2 = 144/18 = 8 r = sqrt (8 ) = sqrt (4 * 2) = sqrt (4) sqrt (2) = 2sqrt (2)