L’aigua s’ha drenat a partir d’un dipòsit en forma de con de 10 peus de diàmetre i 10 peus de profunditat a un ritme constant de 3 peus3 / min. Què tan ràpid es redueix el nivell de l'aigua quan la profunditat de l'aigua és de 6 peus?

La relació de radi,# r #, de la superfície superior de l’aigua a la profunditat de l’aigua,# w és una constant depenent de les dimensions globals del con

# r / w = 5/10 #

#rarr r = w / 2 #

El volum del con d’aigua ve donat per la fórmula

#V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w #

o, en termes de just # w per a la situació donada

#V (w) = pi / (12) w ^ 3 #

# (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 #

#rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) #

Se'ns diu que

# (dV) / (dt) = -3 # (cúbic / min.)

# (dw) / (dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) #

# = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) #

# = (- 12) / (piw ^ 2) #

Quan # w = 6 #

la profunditat d’aigua està canviant a un ritme de

# (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) #

Expressat en termes de la rapidesa de la caiguda del nivell d’aigua, quan la profunditat d’aigua és #6# els peus, l’aigua cau a un ritme de

# 1 / (3pi) # peus / min.

El zoològic disposa de dos dipòsits d’aigua que tenen fuites. Un dipòsit d’aigua conté 12 gal d’aigua i té fuites a un ritme constant de 3 g / h. L’altre conté 20 gal d’aigua i té fuites a una velocitat constant de 5 g / h. Quan els dos tancs tindran la mateixa quantitat?

4 hores. El primer dipòsit té 12 g i està perdent 3 g / hora El segon dipòsit té 20g i perd 5g / h Si representem el temps per t, podríem escriure-ho com una equació: 12-3t = 20-5t Resolució de t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 hores. En aquest moment, els dos tancs s'han buidat simultàniament.

Juanita està regant la seva gespa utilitzant la font d’aigua en un dipòsit d’aigua de pluja. El nivell d’aigua del tanc s’apropa 1/3 cada 10 minuts. Si el nivell del tanc és de 4 peus, quants dies pot Juanita aigua si s’aigua durant 15 minuts cada dia?

Mirar abaix. Hi ha un parell de maneres de solucionar-ho. Si el nivell cau 1/3 en 10 minuts, després cau: (1/3) / 10 = 1/30 en 1 minut. En 15 minuts caure 15/30 = 1/2 2xx1 / 2 = 2 Així que quedarà buit al cap de 2 dies. O d'una altra manera. Si cau 1/3 en 10 minuts: 3xx1 / 3 = 3xx10 = 30minuts 15 minuts al dia és: 30/15 = 2 dies

L’aigua surt d’un dipòsit cònic invertit a una velocitat de 10.000 cm3 / min al mateix temps que l’aigua es bomba al dipòsit a un ritme constant. Si el dipòsit té una alçada de 6 mi el diàmetre a la part superior és de 4 mi si el nivell de l'aigua augmenta a una velocitat de 20 cm / min quan l'alçada de l'aigua és de 2 m, com es troba la velocitat amb què es bomba aigua al tanc?

Sigui V el volum d’aigua del dipòsit, en cm ^ 3; sigui h la profunditat / alçada de l’aigua, en cm; i sigui r el radi de la superfície de l'aigua (a la part superior), en cm. Atès que el tanc és un con invertit, també ho és la massa d’aigua. Atès que el dipòsit té una alçada de 6 mi un radi a la part superior de 2 m, els triangles similars impliquen que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 de manera que h = 3r. El volum del con invertit de l’aigua és llavors V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Diferenciï ara tots dos costats respecte al temps t (en min