El nombre 90 ^ 9 té 1900 divisors integrals positius diferents. Quants d’aquests són quadrats de nombres enters?

Resposta:

Wow - Puc contestar la meva pròpia pregunta.

Explicació:

Resulta que l’enfocament és una combinació de combinatòria i teoria de nombres. Comencem per factoring #90^9# en els seus factors primers:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

El truc aquí és esbrinar com trobar quadrats d'enters, que és relativament simple. Es poden generar quadrats d’enteris de diverses maneres a partir d’aquesta factorització:

#5^9*3^18*2^9#

Ho veiem #5^0#, per exemple, és un quadrat d’un enter i un divisor de #90^9#; igualment, #5^2#, #5^4#,#5^6#, i #5^8# tots compleixen també aquestes condicions. Per tant, tenim 5 maneres possibles de configurar un divisor de #90^9# això és un quadrat d’un enter, que utilitza només 5 s.

El mateix raonament s’aplica a #3^18# i #2^9#. Cada potència parella d'aquests factors primers - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 totals) per a 3 i 0, 2, 4, 6, 8 (5 totals) per a 2 - és un quadrat perfecte que és un divisor de #90^9#. A més, qualsevol combinació d’aquests divisors primers que tenen potències parells també compleix les condicions. Per exemple, #(2^2*5^2)^2# és un quadrat d’un enter, tal com és #(3^8*2^4)^2#; i ambdues, formades per divisors de #90^9#, són també divisors de #90^9#.

Per tant, la quantitat desitjada de quadrats de nombres enters que són divisors de #90^9# es dóna per #5*10*5#, que és la multiplicació de les possibles opcions per a cada factor primer (5 per a 5, 10 per a 3 i 5 per a 2). Això és igual a #250#, que és la resposta correcta.