La hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles té els seus extrems en els punts (1,3) i (-4,1). Quin és el mètode més senzill per esbrinar les coordenades del tercer costat?

Resposta:

# (- 1/2, -1 / 2), o, (-5 / 2,9 / 2) #.

Explicació:

Anomeneu el nom isòsceles right-triangle com # DeltaABC #, i ho deixem

#AC# ser el hipotenusa, amb # A = A (1,3) i C = (- 4,1) #.

Conseqüentment, # BA = BC #.

Per tant, si # B = B (x, y) #, llavors, utilitzant el fórmula de distància

# BA ^ 2 = BC ^ 2rArr (x-1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #.

# rArrx ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-6y + 9 = x ^ 2 + 8x + 16 + y ^ 2-2y + 1 #

# rArr10x + 4y + 7 = 0 …………………………………… …………… <<1>> #.

També, com #BAbotBC, "pendent de" BAxx "pendent de" BC = -1 #.

#:. {{y-3) / (x-1)} {(y-1) / (x + 4)} = - 1 #.

#:. (y ^ 2-4y + 3) + (x ^ 2 + 3x-4) = 0.

#:. x ^ 2 + y ^ 2 + 3x-4y-1 = 0 ………………………… << 2 >> #.

# <<1>> rArr y = - (10x + 7) / 4 … << 1 '>> #. Sub.ing in #<<2>>#, obtenim, # x ^ 2 + (- (10x + 7) / 4) ^ 2 + 3x-4 (- (10x + 7) / 4) -1 = 0 #.

#:. 16x ^ 2 + (100x ^ 2 + 140x + 49) + 48x + 160x + 112-16 = 0 #

#:. 116x ^ 2 + 348x + 145 = 0 #.

# "Dividint" 29, "tenim", 4x ^ 2 + 12x + 5 = 0 o, #

# 4x ^ 2 + 12x = -5 #, # rArr4x ^ 2 + 12x + 9 = -5 + 9 …… perquè, "completant la plaça" # #,

#rArr (2x + 3) ^ 2 = 4 = 2 ^ 2:. 2x + 3 = + - 2:. 2x = -3 + -2 #.

#:. x = -1 / 2, o, x = -5 / 2 #.

# << 1 '>> rArr y = -1 / 2, o, y = 9/2 #.

Per tant, el vèrtex restant del triangle pot ser, tampoc

# (- 1/2, -1 / 2), o, (-5 / 2,9 / 2) #.