Es dóna y = f (x).Gràfic, y = f (3x) -2 i y = -f (x-1)?

Resposta:

No tingueu paper gràfic a mà - així que espero que la descripció us pugui ajudar!

Explicació:

Per # y = f (3x) -2 # primer esprémer el gràfic donat al llarg del # x # eix per un factor de 3 (de manera que el mínim de la mà esquerra, per exemple, es produeixi a # x = -2 / 3 #), i després empeny tot el gràfic baixar per 2 unitats. Així, el nou gràfic tindrà un mínim de #x = -2 / 3 # amb un valor de # y = -2 #, un màxim a #(0,0)# i un altre mínim a #(4/3, -4)#

Per # y = -f (x-1) # primer canvieu la unitat del gràfic 1 a la dret, llavors gire'l cap per avall! Així, el nou gràfic serà el segon màxims a #(-1,0)# i #(5,2)# i un mínim a #(1,-2) #

Resposta:

Aquí hi ha una explicació més detallada

Explicació:

Els problemes són casos especials d’un problema més general:

Donat el gràfic de # y = f (x) #, quina és la gràfica de #y = a f (b x + c) + d # ?

(el primer és per a # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, mentre que el segon és per a # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Intentaré explicar la resposta a pas, abordant el problema un pas a la vegada. Serà una resposta bastant llarga, però esperem que el principi general sigui clar al final d’aquesta.

Per exemple, utilitzaré una corba concreta que segueixi mostrant, però la idea funcionarà en general.

(Si algú està interessat, la funció que es dibuixa aquí és #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Donat el gràfic de # y = f (x) #, quina és la gràfica de #y = f (x) + d # ?

Aquest és fàcil: tot el que heu de fer és tenir en compte que si # (x, y) # és un punt del primer gràfic, llavors # (x, y + d) # és un punt en el segon. Això significa que el segon gràfic és superior al primer per una distància # d # (és clar, si # d # és negatiu, és inferior al primer gràfic de # | d | #).

Així, el gràfic de # y = f (x) + 1 # serà

Com podeu veure, el gràfic de #y = f (x) + 1 # (la línia morada sòlida) s'obté simplement empenyent el gràfic # y = f (x) # (la línia traçada de gris) amunt per una unitat.

El gràfic de # y = f (x) -1 # es pot trobar pressionant el gràfic original baixar per una unitat:

2) Donat el gràfic de # y = f (x) #, quina és la gràfica de #y = f (x + c) # ?

És fàcil veure-ho si # (x, y) # és un punt en el # y = f (x) # gràfic, llavors # (x-c, y) # serà un punt en el #y = f (x + c) # gràfic. Això vol dir que podeu obtenir el gràfic #y = f (x + c) # des del gràfic de #y = f (x) # simplement canviant-la a la esquerra per # c # (és clar, si # c # és negatiu, heu de canviar el gràfic original per # | c | # a la dreta.

Com a exemple, el gràfic de # y = f (x + 1) # es pot trobar empenyent el gràfic original al fitxer esquerra per una unitat:

mentre que per a # y = f (x-1) # implica empènyer el gràfic original al fitxer dret per una unitat:

3) Donat el gràfic de # y = f (x) #, quina és la gràfica de #y = f (bx) # ?

Des de #f (x) = f (b vegades x / b) # se segueix que si # (x, y) # és un punt en el #y = f (x) # gràfic, llavors # (x / b, y) # és un punt en el # y = f (bx) # gràfic.

Això vol dir que ha de ser el gràfic original espremut per un factor de # b # al llarg del # x # eix. Per descomptat, la pressió de # b # és realment un estiraments per # 1 / b # per al cas on # 0 <b <1 #

El gràfic de # y = f (2x) # és

Tingueu en compte que mentre l’altura es manté igual a 1, l’amplada es redueix per un factor de 2. En particular, el pic de la corba original ha canviat de # x = 1 # a # x = 1/2 #.

D'altra banda, el gràfic de # y = f (x / 2) # és

Tingueu en compte que aquest gràfic és el doble d’ampliació (esprémer per #1/2# sent el mateix que l'estirament per un factor de 2), i el pic també ha passat de # x = 1 # a # x = 2 #.

Cal esmentar especialment el cas en què # b # és negatiu. El millor és que pensem en això com un procés en dos passos

• Primer trobeu el gràfic de # y = f (-x) #, i llavors
• prémer el gràfic resultant # | b | #

Tingueu en compte que per a cada punt # (x, y) # del gràfic original, el punt # (- x, y) # és un punt del gràfic de # y = f (-x) # - de manera que es pot trobar el nou gràfic reflectint l’antic sobre el document # Y # eix.

Com a il·lustració del procés de dos passos, considerem el gràfic de # y = f (-2x) # mostrat a continuació:

Aquí la corba original, que per # y = f (x) # primer es gira al voltant del # Y # eix per obtenir la corba de # y = f (-x) # (la prima línia cian). Això s’espreta després per un factor de #2# per obtenir la corba # y = f (-2x) # - la corba de color porpra gruixut.

4) Donat el gràfic de # y = f (x) #, quina és la gràfica de #y = af (x) # ?

El patró és el mateix aquí - si # (x, y) # és un punt de la corba original llavors # (x, ay) # és un punt del gràfic de # y = af (x) #

Això significa que per a un positiu # a #, el gràfic s'estira per un factor de # a # al llarg del # Y # eix. De nou, el valor de # a # entre 0 i 1 significa que en lloc d’estirar-se, la corba serà realment espremuda per un factor de # 1 / a # al llarg del # Y # eix.

La corba inferior és per a # y = 2f (x) #

Tingueu en compte que el temps que el pic té el mateix valor de # x # - la seva alçada s'ha duplicat a 2 de 1. Per descomptat, no és només el pic que s'ha estès - # y # La coordenada de cada punt de la corba original s'ha duplicat per obtenir la nova corba.

La figura següent il·lustra l’expressió que es produeix quan #0<>

Una vegada més, el cas de #a <0 # té cura especial - i és millor fer-ho en dos passos

1. Primer, feu una volta la corba cap per avall sobre la # X # eix per obtenir la corba de # y = -f (x) #
2. Estireu la corba per # | a | # al llarg del # Y # eix.

La corba de # y = -f (x) # és

mentre que la imatge següent il·lustra els dos passos necessaris per dibuixar la corba #y = -2f (x) #

Col·locar-ho tot

Ara que hem passat pels passos individuals, deixem-los tots junts! El procediment per dibuixar la corba

# y = a f (bx + c) + d #

partint d’aquest de # y = f (x) # es compon essencialment dels següents passos

1. Representar la corba de # y = f (x + c) #: canvieu el gràfic per una distància # c # a l'esquerra
2. A continuació, expliqueu el de #y = f (bx + c) #: premeu la corba que obtingueu del pas 1 a la # X # direcció pel factor # | b | #, (primer donant-li la volta al document.) # Y # eix si #b <0 #)
3. A continuació, dibuixeu el gràfic de # y = af (bx + c) #: escala la corba que va arribar del pas 2 al per un factor de # a # en direcció vertical.
4. Finalment, empenyeu la corba que obteniu al pas 3 per una distància # d # per obtenir el resultat final.

Per descomptat, haureu de fer els quatre passos només en casos extrems, sovint es farà un petit nombre de passos. A més, la seqüència de passos és important.

En cas de preguntar-se, aquests passos segueixen pel fet que si # (x, y) # és un punt en el # y = f (x) # gràfic, llavors el punt

# ({x-c} / b, ay + d) # està en el # y = af (bx + c) + d # gràfic.

Permeteu-me il·lustrar el procés mitjançant un exemple amb la nostra funció #f (x) #. Tractem de construir el gràfic per a #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Primer: el desplaçament cap a l'esquerra de 3 unitats

A continuació, premeu per un factor 2 al llarg de la # X # eix

A continuació, feu una pausa sobre el gràfic # X # eix i després escalar per un factor de 2 al llarg # Y #

Finalment, canvieu la corba per una unitat - i ja hem acabat!