Com simplifiqueu (1 - x ^ 2) ^ (1/2) - x ^ 2 (1 - x ^ 2) ^ (- 3/2)?

Resposta:

# ((- x ^ 2 + x + 1) (- x ^ 2-x + 1)) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) #

Explicació:

# (1-x ^ 2) ^ (1/2) -x ^ 2 (1-x ^ 2) ^ (- 3/2) #

Usarem: #color (vermell) (a ^ (- n) = 1 / a ^ n) #

# <=> (1-x ^ 2) ^ (1/2) -x ^ 2 / (1-x ^ 2) ^ (color (vermell) (+ 3/2)) #

Volem dues fraccions amb el mateix denominador.

# <=> ((1-x ^ 2) ^ (1/2) * color (verd) ((1-x ^ 2) ^ (3/2))) / color (verd) ((1-x ^ 2) ^ (3/2)) - x ^ 2 / (1-x ^ 2) ^ (+ 3/2) #

Usarem: #color (vermell) (u ^ (a) * u ^ (b) = u ^ (a + b)) #

# <=> (color (vermell) ((1-x ^ 2) ^ (2))) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) -x ^ 2 / (1-x ^ 2) ^ (3/2) #

# <=> ((1-x ^ 2) ^ (2) -x ^ 2) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) #

Utilitzarem la següent identitat polinòmica:

#color (blau) ((a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2) #

# <=> color (blau) ((1-x ^ 2 + x) (1-x ^ 2-x)) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) #

# <=> ((-x ^ 2 + x + 1) (- x ^ 2-x + 1)) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) #

No podem fer millor que això, i ara podeu trobar fàcilment (si voleu) la solució # ((-x ^ 2 + x + 1) (- x ^ 2-x + 1)) / (1-x ^ 2) ^ (3/2) = 0