Ús de la integració per parts,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Recordeu que la integració per parts utilitza la fórmula:
# intu # # dv =#uv - intv # # du #
La qual cosa es basa en la regla del producte per a derivats:
#uv = vdu + udv #
Per utilitzar aquesta fórmula, hem de decidir quin terme serà
Trigada inversa
Logaritmes
Àlgebra
Trig
Exponencials
Això us dóna un ordre de prioritat per a quin terme s’utilitza "
Ara tenim:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Els següents elements que necessitem en la fórmula són "
La derivada s'obté utilitzant la regla de potència:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Per a la integral, es pot utilitzar la substitució.
utilitzant
Ara tenim:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Connexió a la fórmula original d’Integration by Parts, tenim:
# intu # # dv =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Ara ens queden amb una altra integral que cal utilitzar de nou per integrar les parts. Agafant el
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Aquesta última integral podem resoldre amb una última ronda de substitució, que ens donarà:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Posar tot el que hem trobat junts, ara tenim:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Ara podem simplificar els punts negatius i els parèntesis per obtenir la nostra resposta final:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
La clau és recordar que acabareu sumant o restant una cadena de termes múltiples. S'està dividint contínuament la integral en parts més petites i manejables que haureu de seguir per a la resposta final.
Com puc trobar la integral int (ln (x)) ^ 2dx?
El nostre objectiu és reduir la potència de ln x perquè la integral sigui més fàcil d’avaluar. Ho podem aconseguir mitjançant la integració per parts. Tingueu en compte la fórmula IBP: int u dv = uv - int v du Ara, deixarem u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Per tant, du = (2lnx) / x dx i v = x. Ara, reunint les peces, obtenim: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Aquesta nova integral sembla molt millor! Simplificant un bit i portant la part frontal constant, es produeix: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ara, per desfer-se d’aquesta següent integral, farem
Com puc trobar la integral int (x * cos (5x)) dx?
Tindrem en compte la fórmula d’integració per parts, que és: int u dv = uv - int v du Per trobar aquesta integral correctament deixarem u = x, i dv = cos 5x dx. Per tant, du = dx i v = 1/5 sin 5x. (Es pot trobar v utilitzant una substitució de U ràpida) El motiu pel qual vaig escollir x per al valor de u és perquè sé que més endavant acabaré integrant v multiplicat per la derivada de u. Atès que la derivada de u és només 1, i ja que la integració d'una funció trig per si mateixa no la fa més complexa, hem eliminat eficaçment la x de la
Com puc trobar la integral int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Procés: int x e ^ (- x) dx =? Aquesta integral requerirà integració per parts. Tingueu en compte la fórmula: int u dv = uv - int v du Deixarem u = x, i dv = e ^ (- x) dx. Per tant, du = dx. Trobar v requerirà una substitució en u; Usaré la lletra q en lloc de u ja que ja utilitzem la fórmula u en la integració per parts. v = int e ^ (- x) dx sigui q = -x. per tant, dq = -dx Reescriurem la integral, afegint dos negatius per acomodar dq: v = -int -e ^ (- x) dx Escrit en termes de q: v = -int e ^ (q) dq Per tant, v = -e ^ (q) Substitu