L’aigua surt d’un dipòsit cònic invertit a una velocitat de 10.000 cm3 / min al mateix temps que l’aigua es bomba al dipòsit a un ritme constant. Si el dipòsit té una alçada de 6 mi el diàmetre a la part superior és de 4 mi si el nivell de l'aigua augmenta a una velocitat de 20 cm / min quan l'alçada de l'aigua és de 2 m, com es troba la velocitat amb què es bomba aigua al tanc?

Deixar # V # ser el volum d’aigua del dipòsit # cm ^ 3 #; deixar # h # ser la profunditat / alçada de l’aigua, en cm; i ho deixem # r # ser el radi de la superfície de l’aigua (a la part superior), en cm. Atès que el tanc és un con invertit, també ho és la massa d’aigua. Atès que el tanc té una alçada de 6 mi un radi a la part superior de 2 m, els triangles similars ho impliquen frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # i que # h = 3r #.

El volum del cono d’aigua invertit és llavors # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Ara diferenciar els dos costats pel que fa al temps # t # (en minuts) # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (En aquesta etapa s’utilitza la regla de cadena).

Si #V_ {i} # és el volum d’aigua que s’ha introduït a continuació # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (Quan l'alçada / profunditat de l'aigua és de 2 metres, el radi de l'aigua és frac {200} {3} # cm).

Per tant # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 aproximadament 847758 frac {mbox {cm} ^ 3} {min} #.