Com es troba la antiderivada de (e ^ x) / (1 + i ^ (2x))?

Resposta:

#arctan (e ^ x) + C #

Explicació:

# "escriviu" e ^ x "dx com" d (e ^ x) ", llavors obtindrem" #

#int (d (i ^ x)) / (1+ (i ^ x) ^ 2) #

# "amb la substitució y =" e ^ x ", obtenim" #

#int (d (i)) / (1 + i ^ 2) #

# "que és igual a" #

#arctan (y) + C #

# "Ara substitueix" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Resposta:

#int e ^ x / (1 + i ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Explicació:

Volem trobar # inte ^ x / (1 + i ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (i ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Ara ho deixem # u = e ^ x # i per tant prendre el diferencial a banda i banda # du = e ^ xdx #. Ara substituïm aquestes dues equacions per la integral

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" o #

Aquesta és una integral estàndard que avalua # arctanu #. Substitució de la part posterior # x # rebem una resposta final:

#arctan e ^ x + "c" #

Resposta:

#int e ^ x / (1 + i ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Explicació:

Primer, deixem # u = 1 + e ^ (2x) #. Integrar respecte a # u #, dividim per la derivada de # u #, el qual és # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int i ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)

Integrar respecte a # u #, necessitem tot allò expressat en termes de # u #, així que hem de resoldre per què # e ^ x # és en termes de # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Ara podem tornar a connectar aquesta a la integral:

# = 1 / 2int 1 / (i ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

A continuació, introduirem una substitució amb # z = sqrt (u-1) #. La derivada és:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

així que dividim per integrar-se respecte a # z # (recordeu que la divisió és la mateixa que la multiplicació per la inversió):

1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Ara, de nou, tenim la variable equivocada, per la qual cosa hem de resoldre què # u # és igual a en termes de # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Això dóna:

1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Aquesta és la derivada comuna de # tan ^ -1 (z) #, així que tenim:

1/1 (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Desfent totes les substitucions, obtenim:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + i ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((i ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #