Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (3 pi) / 4 i pi / 6. Si un costat del triangle té una longitud de 9, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Resposta:

És el perímetre més llarg possible # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Explicació:

Amb els dos angles donats podem trobar el tercer angle utilitzant el concepte que la suma de tots els angles en un triangle és # 180 ^ @ o pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Per tant, el tercer angle és # pi / 12 #

Ara, diguem

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 i / _C = pi / 12 #

Utilitzant la norma Sine tenim, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

on, a, b i c són la longitud dels costats oposats a # / _ A, / _B i / _C # respectivament.

Utilitzant el conjunt d’equacions anteriors, tenim el següent:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

# o a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a #

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Ara, per trobar el perímetre més llarg possible del triangle

#P = a + b + c #

Assumint, #a = 9 #, tenim

#a = 9, b = 9 / sqrt2 i c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

#or P ~~ 18.66 #

Assumint, #b = 9 #, tenim

#a = 9sqrt2, b = 9 i c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#or P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

#or P ~~ 26.39 #

Assumint, #c = 9 #, tenim

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) i c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

#or P ~~ 50.98 #

Per tant, el perímetre més llarg possible del triangle donat és # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 12, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

El perímetre més llarg possible és de 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Com dos angles són (2pi) / 3 i pi / 4, el tercer angle és pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Per al costat més llarg del perímetre de la longitud 12, diguem a, ha de ser l’angle més petit oposat pi / 12 i després utilitzar la fórmula sine amb altres dos costats serà 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Per tant, b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 i c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Pe

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 4, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

P_max = 28,31 unitats. El problema us dóna dos dels tres angles en un triangle arbitrari. Atès que la suma dels angles en un triangle ha de sumar fins a 180 graus, o pi radians, podem trobar el tercer angle: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 dibuixem el triangle: el problema indica que un dels costats del triangle té una longitud de 4, però no especifica quin costat. No obstant això, en qualsevol triangle donat, és cert que el costat més petit serà oposat des de l'angle més petit. Si volem maximitzar el

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 19, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tres ángulos són (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12, ja que els tres angles s'afegeixen a pi ^ c el costat 19 ha de correspondre a l'angle més petit pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51,909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51,90 + 63,5752 = 13,44842 )