Dues cantonades d'un triangle isòsceles es troben a (1, 3) i (9, 4). Si l'àrea del triangle és de 64, quines són les longituds dels costats del triangle?

Resposta:

Les longituds dels costats del triangle són:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Explicació:

La distància entre dos punts # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) # es dóna per la fórmula de distància:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Així que la distància entre # (x_1, y_1) = (1, 3) # i # (x_2, y_2) = (9, 4) # és:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

que és un nombre irracional una mica més gran que #8#.

Si un dels altres costats del triangle tingués la mateixa longitud, llavors la zona màxima possible del triangle seria:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Així que no pot ser així. En canvi, els altres dos costats han de tenir la mateixa longitud.

Donat un triangle amb costats # a = sqrt (65), b = t, c = t #, podem utilitzar la fórmula d’Heron per trobar la seva àrea.

La fórmula de les herones ens indica que l'àrea d'un triangle amb costats #a, b, c # i semi perímetre #s = 1/2 (a + b + c) # es dóna per:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

En el nostre cas, el semi perímetre és:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

i la fórmula de Heron ens diu que:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (blanc) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiplica els dos extrems per #2# aconseguir:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4))

Plaça ambdós costats per aconseguir:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiplica els dos costats de #4/65# aconseguir:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transposició i addició #65/4# a tots dos costats:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Prengui l’arrel quadrada positiva de tots dos costats per obtenir:

#t = sqrt (266369/260) #

Així, les longituds dels costats del triangle són:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Mètode alternatiu

En lloc d’utilitzar la fórmula d’Heron, podem raonar de la següent manera:

Tenint en compte que la base del triangle isòsceles és de longitud:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

La zona és # 64 = 1/2 "base" xx "alçada" #

Així l’altura del triangle és:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Aquesta és la longitud de la mediatriu del triangle, que passa pel punt mitjà de la base.

Així, els altres dos costats formen la hipotenusa de dos triangles rectes amb les cames #sqrt (65) / 2 # i # (128sqrt (65)) / 65 #

Per tant, de Pitàgores, cadascun d'aquests costats és de longitud:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #