Quin és el rang de la funció f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Resposta:

El rang és #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Explicació:

Tingueu en compte que el denominador no està definit quan sigui

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, és a dir, sempre

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

o bé

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, on #n en ZZ # (# n # és un enter).

Com # x # enfocaments #x_ (1, n) # des de sota, #f (x) # enfocaments # - infty #, mentre que si # x # enfocaments #x_ (1, n) # des de llavors #f (x) # enfocaments # + infty #. Això es deu a la divisió de "gairebé" #-0# o bé #+0#'.

Per #x_ (2, n) # la situació s'inverteix. Com # x # enfocaments #x_ (2, n) # des de sota, #f (x) # enfocaments # + infty #, mentre que si # x # enfocaments #x_ (2, n) # des de llavors #f (x) # enfocaments # -influent #.

Tenim una seqüència d’intervals en què #f (x) # és continu, com es pot veure a la trama. Penseu en primer lloc sobre les "bols" (en els extrems del qual la funció s’aconsegueix) # + infty #). Si podem trobar els mínims locals en aquests intervals, llavors ho sabrem #f (x) # assumeix tots els valors entre aquest valor i # + infty #. Podem fer el mateix per a "bols de baixada" o "caps".

Observem que el valor positiu més petit s’obté sempre que el denominador en #f (x) # és tan gran com sigui possible, és a dir, quan #sin (x) = 1 #. Per tant, conclouem que el valor positiu més petit de #f (x) # és #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

El valor negatiu més gran es troba igualment #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

A causa de la continuïtat de #f (x) # en els intervals entre discontinuïtats i el teorema del valor intermedi, podem concloure que el rang de #f (x) # és

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Els claudàtors durs signifiquen que el nombre s’inclou a l’interval (p. Ex., #-1/2#), mentre que els suports suaus signifiquen que el nombre no està inclòs.

gràfic {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}