Quina és la derivada de f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Procés:

En primer lloc, farem que l’equació sigui més fàcil de tractar. Prengui el secant dels dos costats:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

A continuació, reescriu en termes de # cos #:

# 1 / cos y = x #

I resoldre per # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = acollidor #

#y = arccos (1 / x) #

Ara sembla molt més fàcil de diferenciar. Ho sabem

# d / dx arccos (alfa) = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) #

per tant, podem utilitzar aquesta identitat i la regla de la cadena:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Una mica de simplificació:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Una mica més de simplificació:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Per fer que l’equació sigui més bonica moure la # x ^ 2 # dins del radical:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Una reducció final:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

I hi ha el nostre derivat.

En diferenciar les funcions de trigonometria inversa, la clau està aconseguint que siguin d'una forma fàcil de tractar. Més que res, són un exercici en el seu coneixement de les identitats trigràniques i de la manipulació algebraica.