Dues cantonades d'un triangle isòsceles es troben a (7, 5) i (3, 6). Si l’àrea del triangle és 6, quines són les longituds dels costats del triangle?

Resposta:

Hi ha dues maneres de fer-ho; A continuació s'explica el camí amb els menys passos.

La pregunta és ambigua sobre els dos costats que tenen la mateixa longitud. En aquesta explicació, assumirem que els dos costats d’igual longitud són els que encara no s’han trobat.

Explicació:

Es pot esbrinar una longitud de costat només de les coordenades que ens han donat.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

A continuació, podem utilitzar la fórmula de l’àrea d’un triangle en termes de longituds laterals per esbrinar-la # b # i # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

on # s = (a + b + c) / 2 # (anomenat el semiperímetre)

Des de # a = sqrt (17) # es coneix, i suposem # b = c #, tenim

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (vermell) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Substituint això a la fórmula d’àrea anterior, així com # A = 6 # i # a = sqrt17 #, obtenim

# 6 = sqrt ((color (vermell) (sqrt (17) / 2 + b)) (color (vermell) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (color (vermell) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (color (vermell) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2)

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

La nostra solució és # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Nota 1:

És possible tenir un triangle amb dos costats de longitud #sqrt (17) # i zona # A = 6 # (és a dir, tenir # a = b = sqrt (17) # en lloc de # b = c #). Això donarà lloc a una solució diferent.

Nota 2:

També podríem haver resolt aquesta pregunta localitzant les coordenades del tercer punt. Això hauria implicat:

a) trobar la longitud del costat conegut # a #

b) trobar el pendent # m entre els dos punts donats

c) trobar el punt mig # (x_1, y_1) # entre els dos punts donats

d) trobar la "altura" # h # d’aquest triangle utilitzant # A = 1/2 ah #

e) trobar el pendent de l'altura utilitzant #m_h = (- 1) / m #

f) utilitzant tant la fórmula del punt de pendent # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # i la fórmula d'alçada # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # per resoldre una de les coordenades del tercer punt # (x_2, y_2) #

g) després de combinar aquestes dues equacions, simplificant els rendiments

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) endollar els valors coneguts de # h #, # m_h #, i # x_1 # aconseguir # x_2 #

i) utilitzar una de les dues equacions de (f) per trobar # y_2 #

j) utilitzar la fórmula de distància per trobar les longituds laterals restants (idèntiques)

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Podeu veure per què el primer mètode és més fàcil.