Com es simplifica root3 (1)?

Resposta:

#1# o bé #1^(1/3)# =#1#

Explicació:

L’arrel cubat d’1 és el mateix que augmentar 1 a la potència de #1/3#. 1 a la força de qualsevol cosa segueix sent 1.

Resposta:

Treballant en els reals que obtenim #root 3 {1} = 1 #.

Cada nombre complex no diferent té tres arrels cubes, així que hi ha

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Explicació:

Si estem treballant en nombres reals, només ho notem #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1. Suposo que es tracta de números complexos.

Una de les coses estranyes que descobrim quan aprofundim en números complexos és la funció #f (z) = e ^ {z} # és periòdic. El creixement exponencial és el contrari del periòdic, de manera que és una sorpresa.

El fet clau és la identitat quadrada d’Euler. Ho dic La veritable identitat d'Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Mostra la veritable identitat d'Euler # e ^ z # és periòdic amb el període # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Podem elevar la veritable identitat d’Euler a qualsevol poder sencer # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Què té a veure amb l’arrel cúbic d’un? És la clau. Diu que hi ha una infinitat de maneres d’escriure un. Alguns tenen arrels de cub diferents que d'altres. És per això que els exponents no sencers donen lloc a múltiples valors.

Això és tot un gran ventall. En general, comenco a escriure:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad per a sencer # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

L’últim pas és, per descomptat, la fórmula d’Euler # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta.

Des que tenim el # 2pi # periodicitat de les funcions trig (que deriva de la periodicitat de la fórmula exponencial i Euler) només tenim valors únics per a tres consecutius # k #s. Avaluem això # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Així, obtenim tres valors per a l’arrel cúbic d’un:

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #