Dues cantonades d'un triangle isòsceles es troben a (2, 5) i (9, 8). Si l’àrea del triangle és de 12, quines són les longituds dels costats del triangle?

Resposta:

#sqrt (1851/76) #

Explicació:

Les dues cantonades del triangle isòsceles es troben a (2,5) i (9,8). Per trobar la longitud del segment de línia entre aquests dos punts, utilitzarem el fórmula de distància (una fórmula derivada del teorema de Pitàgores).

Distància fórmula per punts # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) #:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Així donats els punts #(2,5)# i #(9,8)#, tenim:

# D = sqrt ((9-2) ^ 2 + (8-5) ^ 2) #

# D = sqrt (7 ^ 2 + 3 ^ 2) #

# D = sqrt (49 + 9) #

# D = sqrt (57) #

Així doncs, sabem que la base té una longitud #sqrt (57) #.

Ara sabem que l’àrea del triangle és # A = (bh) / 2 #, on b és la base i h és l’altura. Ja ho sabem # A = 12 # i # b = sqrt (57) #, podem calcular per # h #.

# A = (bh) / 2 #

# 12 = (sqrt (57) h) / 2 #

# 24 = (sqrt (57) h) #

# h = 24 / sqrt (57) #

Finalment per trobar la longitud d’un costat, utilitzarem el teorema de Pitàgor (# a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #). Des de la imatge, es pot veure que es pot dividir un triangle isòsceles en dos triangles drets. Així que per trobar la longitud d’un costat, podem agafar un dels dos triangles dret i llavors utilitzar l’altura # 24 / sqrt (57) # i la base #sqrt (57) / 2 #. Tingueu en compte que hem dividit la base per dos.

# a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #

# (24 / sqrt (57)) ^ 2+ (sqrt (57) / 2) ^ 2 = c ^ 2 #

# 576/57 + 57/4 = c ^ 2 #

# 192/19 + 57/4 = c ^ 2 #

# (768 + 1083) / 76 = c ^ 2 #

# 1851/76 = c ^ 2 #

# c = sqrt (1851/76) #

Per tant, la longitud dels seus costats és #sqrt (1851/76) #