X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factoritzar)?

Resposta:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alfa + barra (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalfa + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa))) x + 2) #

tal com es descriu a continuació …

Explicació:

Avís:

Aquesta resposta pot ser que sigui més avançada del que s’espera que sàpiga.

Notes

És possible simplificar i trobar:

# alpha + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalfa + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alfa + omegabar (alfa) = -1

però no em segueix (encara) clar com és millor fer-ho.

Resposta:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Explicació:

Heus aquí un mètode més senzill …

Donat:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Cerqueu una factorització del formulari:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalfa + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta) + betagamma + gammaalfa) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gamma) x + 8 #

Es troben coeficients d’equació:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalfa = -6), (alphabetagamma = -5):}

Tan #alpha, beta, gamma # són els zeros del cúbic:

# (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalfa) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Tingueu en compte que la suma dels coeficients d’aquesta cúbica és #0#. Això és #1-6+5 = 0#.

Per tant # x = 1 # és un zero i # (x-1) # un factor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Els zeros de la quadràtica restant es poden trobar utilitzant la fórmula quadràtica com:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Tan # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Tan:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonificació

Es pot generalitzar la derivació anterior?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalfa + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalfa + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Coeficients d'equació:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalfa = -3q), (alphabetagamma = p):}

Per tant #alpha, beta, gamma # són els zeros de:

# x ^ 3-3qx-p #

Així, si podem trobar tres zeros reals d’aquest cúbic, llavors tindrem la factorització del sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # en tres quadràtics amb coeficients reals.