Dues cantonades d'un triangle isòsceles es troben a (7, 2) i (3, 6). Si l’àrea del triangle és 6, quines són les longituds dels costats del triangle?

Resposta:

Les longituds dels costats són: # a = 5 / 2sqrt2 = 3.5355339 # i # b = 5 / 2sqrt2 = 3.5355339 # i # c = 4sqrt2 = 5.6568542 #

Explicació:

Primer deixem #C (x, y) # siga el tercer cantó desconegut del triangle.

També deixeu les cantonades #A (7, 2) # i #B (3, 6) #

Posem l’equació fent servir els costats per fórmula de distància

# a = b #

#sqrt ((x_c-3) ^ 2 + (y_c-6) ^ 2) = sqrt ((x_c-7) ^ 2 + (y_c-2) ^ 2) #

simplificar per obtenir

# x_c-y_c = 1 "" # #primera equació

Utilitzeu ara la fórmula de matriu per a Àrea:

# Àrea = 1/2 ((x_a, x_b, x_c, x_a), (y_a, y_b, y_c, y_a)) =

# = 1/2 (x_ay_b + x_by_c + x_cy_a-x_by_a-x_cy_b-x_ay_c) #

# Àrea = 1/2 ((7,3, x_c, 7), (2,6, y_c, 2)) =

# Àrea = 1/2 * (42 + 3y_c + 2x_c-6-6x_c-7y_c) #

# Àrea = 6 # això es dóna

Ara tenim l’equació

# 6 = 1/2 * (42 + 3y_c + 2x_c-6-6x_c-7y_c) #

# 12 = -4x_c-4y_c + 36 #

# x_c + y_c = 6 "" "#segona equació

Solució simultània del sistema

# x_c-y_c = 1 #

# x_c + y_c = 6 #

# x_c = 7/2 # i # y_c = 5/2 #

Ara podem resoldre les longituds dels costats # a # i # b #

# a = b = sqrt ((x_b-x_c) ^ 2 + (y_b-y_c) ^ 2) #

# a = b = sqrt ((3-7 / 2) ^ 2 + (6-5 / 2) ^ 2) #

# a = b = 5 / 2sqrt (2) = 3,5355339 "" # #unitats

costat computador # c #:

# c = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-i_b) ^ 2) #

# c = sqrt ((7-3) ^ 2 + (2-6) ^ 2) #

# c = sqrt (2 (16)) #

# c = 4sqrt2 = 5.6568542 #