Quins són els extrems absoluts de f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) a [2,9]?

Resposta:

El mínim absolut és # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# que es produeix quan # x = 9 #.

El màxim absolut és # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # que es produeix quan # x = 2 #.

Explicació:

L’extrema absolut d’una funció és el més gran i el més petit dels valors de la funció en un domini donat. Aquest domini ens pot ser donat (com en aquest problema) o pot ser el domini de la pròpia funció. Fins i tot quan se'ns dóna el domini, hem de tenir en compte el domini de la pròpia funció, en cas que exclogui qualsevol valor del domini que se'ns proporcioni.

#f (x) # conté l'exponent #1/3#, que no és un enter. Per sort, el domini de #p (x) = root3 (x) # és # (- oo, oo) # per tant, aquest fet no és un problema.

Tanmateix, encara hem de considerar el fet que el denominador no pot ser igual a zero. El denominador serà igual a zero quan #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Cap d’aquests valors es troba en el domini de #2,9#.

Així doncs, anem a buscar l’extrema absolut #2,9#. Els extrems absoluts es produeixen als punts finals del domini o en extrems locals, és a dir, els punts on la funció canvia de direcció. Els extrems locals es produeixen en punts crítics, que són punts del domini on la derivada és igual #0# o no existeix. Per tant, hem de trobar la derivada. Utilitzant la regla del quocient:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Si ho considerem # -3x ^ (- 2/3) # fora del numerador, tenim:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

No hi ha valors de # x # endavant #2,9# on #f '(x) # no existeix. Tampoc hi ha cap valor #2,9# on #f '(x) = 0 #. Per tant, no hi ha punts crítics en el domini donat.

Utilitzant el "candidat test", trobem els valors de #f (x) # als punts finals. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Una revisió ràpida de les nostres calculadores mostra que:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (màxim absolut)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (mínim absolut)

Quins són els extrems absoluts de f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 a [0,3]?

A [0,3], el màxim és 19 (a x = 3) i el mínim és -1 (a x = 1). Per trobar l’extrema absolut d’una funció (contínua) en un interval tancat, sabem que l’extrema s’ha de produir tant en numèries crtices com en l’interval o en els punts finals de l’interval. f (x) = x ^ 3-3x + 1 té la derivada f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 no està mai indefinit i 3x ^ 2-3 = 0 a x = + - 1. Com que -1 no està en l'interval [0,3], el descartem. L’únic nombre crític a considerar és 1. f (0) = 1 f (1) = -1 i f (3) = 19. Així, el màxim és 19 (a x = 3) i el míni

Quins són els extrems absoluts de f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) a [1,4]?

No hi ha màximes globals. Els mínims globals són -3 i es produeixen a x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, on x 1 f '(x) = 2x - 6 L’extrema absolut es produeix en un punt final o al nombre crític. Punts finals: 1 i 4: x = 1 f (1): "indefinit" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 punt (s) crític: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 A x = 3 f (3) = -3 No hi ha màxims globals. No hi ha mínims globals és -3 i es produeix a x = 3.

Quins són els extrems absoluts de f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) a [oo, oo]?

X = 0 és el màxim de la funció. f (x) = 1 / (1 + x²) Cerquem f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Així podem veure que hi ha una solució única, f ' (0) = 0 I també que aquesta solució és el màxim de la funció, ja que lim_ (x a ± oo) f (x) = 0 i f (0) = 1 és aquí la nostra resposta.