Si és possible, trobeu una funció f tal que grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Resposta:

#f (x, y) = x ^ 4 + i ^ 6 + 3 x ^ 3 i ^ 2 + c #

Explicació:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 i ^ 2

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 i ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 i ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 i ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Ara pren"

# C_1 (i) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Llavors tenim un i el mateix f, que compleix les condicions".

# => f (x, y) = x ^ 4 + i ^ 6 + 3 x ^ 3 i ^ 2 + c #

Resposta:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Explicació:

Tenim una notació pobra en la pregunta ja que el del operador (o operador de degradat) és un operador diferencial de vectors, Busquem una funció #f (x, y) # de tal manera que:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

On? #bb (grad) # és l’operador del gradient:

# "grad" f = bb (grad) f = (parcial f) / (parcial x) bb (ul hat i) + (parcial f) / (parcial x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

A partir del qual es requereix que:

# f_x = (parcial f) / (parcial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 ….. A

# f_y = (parcial f) / (parcial i) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Si integrem A wrt # x #, mentre es tracta # y # com a constant llavors obtenim:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

= x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (i) + c #

Si integrem B wrt # y #, mentre es tracta # x # com a constant llavors obtenim:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

= 3x ^ 3y ^ 2 + i ^ 6 + v (x) + c #

On? #u (i) # és una funció arbitrària de # y # sol, i #v (x) # és una funció arbitrària de # x # sol.

Evidentment, exigim que aquestes funcions siguin idèntiques, de manera que tenim:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (i) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + i ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (i) = y ^ 6 + v (x) #

I així escollim #v (x) = x ^ 4 # i #u (i) = y ^ 6 #, que ens dóna la nostra solució:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Podem confirmar fàcilment la solució calculant les derivades parcials:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> QED